** Notation ∑ et opérations

On considère deux suites  $(u_n)$  et  $(v_n)$ .

Soit $p$ un nombre entier naturel.
Les sommes des $p+1$   premiers termes de chacune des suites sont :
$u_0+u_1+\cdots +u_p$  et  $v_0+v_1+\cdots +v_p$ .

Pour calculer la somme $(u_0+v_0)+(u_1+v_1)+\cdots +(u_p+v_p)$ , par associativité, on a  : $(u_0+v_0)+(u_1+v_1)+\cdots +(u_p+v_p)=(u_0+u_1+\cdots +u_p)+(v_0+v_1+\cdots +v_p)$ Soit  ${\displaystyle \boxed{{\displaystyle \sum _{k=0}^p(u_k+v_k)={\displaystyle \sum _{k=0}^p{u}_k+\sum _{k=0}^p{v}_k}}}}$ .

Pour calculer la factorisation : ${\displaystyle \sum _{k=0}^p(a\times u_k)=a{u}_0+a{u}_1+\cdots +a{u}_p=a(u_0+u_1+\cdots +u_p)=a{\displaystyle \sum _{k=0}^p{u}_k}}$ .
Soit :  ${\displaystyle \boxed{{\displaystyle \sum _{k=0}^p(a\times u_k)=a{\displaystyle \sum _{k=0}^p{u}_k}}}}$ .

Cas particulier : on considère une suite $(u_n)$ constante.
Pour tout entier naturel $n$ , on a :  $u_n=a$ (   où $a$ est un nombre réel).
Alors  ${\displaystyle \sum _{k=0}^p{u}_k={\displaystyle \sum _{k=0}^{p}a=(p+1)\times a}}$ .

Plus généralement,  ${\displaystyle \boxed{{\displaystyle \sum _{k=p}^{n}a=(n-p+1)\times a}}}$ ,  où  $n-p+1$ est le nombre de termes de la somme.

Exercice

On considère la suite $(u_n)$  définie par $u_0=1$  et, pour tout entier naturel $n,u_{n+1}=4u_n-9$ .
1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n=3-2\times 4^n$ .
2. En déduire, pour tout entier naturel $n$ , la valeur de  $S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{u}_k}$ .